전세계 95%가 틀리는 문제 

여기서 핵심은 타원 곡선이 복소 토러스와 같다는 점임

(여기서 복소수란 실수와 허수를 결합한 수임)

(여기서 복소평면이란 복소수를 기하학적으로 표현하는 2차 평면임)

(여기서 토러스란 도넛과 같은 형태임)

여기서 복소 토러스 C/L 을 사용하는데 , 이는 복소평면 C를 격자 L로 나눈 공간 임 

C/L 은 복소 평면의 각 점을 격자에 따라 같은 위치에 있는 점을 동 일시 하는 것 을 의미함

그러닌까 격자 L 에 포함되는 점이 있다면 복소 토러스 C/L 에서 같은 점으로 간주할 수 있음

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격자 L 은 복소수 w1 , w2 라는 선형 독립적인 복소수에 의해 생성됨

선형 독립은 복소수 w1 , w2 가 실수상에서 선형독립인 것 을 말하는데 a * w1 + b * w2 = 0 를 만족하는 a, b는 오직 a=b=0 밖에 없다는 것 을 의미함

또한 w1 과 w2 는 복소평면 상에서 평행하지 않는 두 벡터(방향)로 나타내는데

이 두 벡터로 만들어진 평행사변형이 복소평면을 가득 채우는 거임  

같은 점으로 간주한다는 건 평행사변형 중 하나를 기본영역 이라 선택하고 z라는 점이 기본영역  밖에 벗어나 있다면  

z 를 적절한 격자벡터 (a * w1 + b * w2) 를 사용하여 영역  안 으로 옮기면 되기 때문에 

이렇게 이동 된 점은 원래의 z 와 C/L에서 같은점으로 간주한다는 것 

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이런 특성을 사용해서 타원곡선에서는 점들의 덧셈을 할 수 있게 됨

최종적으론 

점 z1 + 점 z2 = 점 z3 라는 간단한 공식을 사용하기 위해 저러한 특성에 대 해 알고있어야 됨

이 관점을 통해 타원곡선의 덧셈을 기하학적으로 할 수 있도록 직관적인 이해를 가능하게 해줌

요약하면 점의 값을 사용하여 새로운 점의 값을 구할 수 있다는 거임

이제 저 특성을 사용하여

타원 곡선의 점에 대 한 덧셈을 해도 된다는 것 을 알게됨

즉, P1 + P2 = (P1 + P2) 가 될 수 있다는 소리임

아니면 점 1개로 P + P = 2P 가 될 수 있음

해당 논리를 그림으로 표현한거임 

P1 과 P2 에 해당하는 직선을 그어서 반대 쪽 그래프에 만나는 점을 찾은 후 x 축 대 칭이동 을 하면됨

x 축 대 칭이동 을 하는 이유는 위에 설명되었던 점들의 덧셈연산을 위해서

상당한 수학적인 논리가 반영된 결과임 , x축 대 칭이동 을 안 하면 점들의 덧셈이 잘  성립이 안 되기 때문

부가적인 이유로는 점들의 다양성과 일관성을 위해서임

그러니 x 축 대 칭이동 을 통해 다양성을 확보하고 일관적으로 답이 계속 나올 수 있게 해주는 장치같은거임

아까 점 1개로 P + P = 2P가 될 수 있다고 했는데 

점 1개에 해당하는 접선의 방정식을 구한 후 그래프와 만나는 점을 찾고 그 점을 x 축 대 칭이동  하면 됨

예시로 저 식은 P = (x , y) = (-100 , 260) 에 만족함

그럼 P + P = 2P     를 해보면   2P = (8836/25 , -950716/125)  가 나옴

새롭게 구한 x , y 값을 다시 a , b , c 에 대 입해본다면    (a , b , c ) = ( 9499, -8784 , 5165) 가 나옴 이건 양의정수가 아니니 다시해야됨

P + P = 2P   P + 2P = 3P .,....... 이런식으로 반복하면서 a b c 를 구한 후 양의정수인지 확인하면 답이나옴

3P , 4P 도 계속하면 딱 9P 에서

9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400292716288512070907945002943352692578000406921

,58800835157308083307376751727347181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469)

이 나왔고

이걸로 a b c 를 구하면

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,

b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,

c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

가 나옴

이게 정답일까?

ㅇㅇ 정답임

계산기 성능이 쓰레기라 소수점 버린거 아닐까?

결론 

a b c 는 80자리가 넘는 값이 나온다

여기서 가장 중요한 점은 >

여기까지 읽은 시점에서 이과는 이해완료됐다는 점임 >

근데 종이에 쓴게 아까운데 c = 1로는 정답을 풀 수 없는걸까?

일단 아까 하던 방식대 로 식을 전개함

 

이후 단순화를 위해 몇가지 항을 추가하면서 단순화를 시킴

이후 

x = a + b + 1

z = ab

로 치환후 정리 를 조짐

여기서 a 와 b에 대 한 근의 방정식을 구할 수 있는데

a + b 와   ab 에 대 한 식을 알 수 있기 때문에

a + b = x - 1

ab     = z

이걸 사용해서  

t^2 - (a+b)t + ab = 0 꼴로 만들어 버릴 수 있음

이를 다시 x 와 z 로 표현한다면

t^2 - (x-1)t + z = 0 

해당 식에 근의 공식을 적용해보면

가 됨

a b 가 유리수가 되기 위해선 (x-1)^2  -  4z 는 어떤 유리수의 제곱이 되어야됨

즉, 양의 유리수가 되어야 된다는 것 

그럼 z 도 정리 됐으니 

(x-1)^2  -  4z    이 식에 z 를 대 입함

분모쪽은 이미 제곱이라서 볼 필요가 없음

이제 분자쪽이 양의 유리수가 되어야됨

결국

이런식의 정리 를 할 수 있음

여기서 중요한건

이 식

아까 봤던 타원곡선 식이랑 유사함

유리수를 구해보면

(x,y)=(−3,10),(−1,0),(0,7),(1,2)  등 여러개가 나옴

그럼 얘를 4차  타원곡선이라 생각하고 푸는데

3차 랑 다르게 풀어야됨

아까는 2개의 점으로 교점인 점을 찾았지만

이번엔 3개의 점으로 그래프를 만들어서 교점인 점을 찾아야됨

아무튼 얘도 어째저째 풀어보면 답이 나옴

이제 해결법을 알았으니 결과물에 집중해봄

문제의 조건을 바꿔보자

1 

저 식에서 4 대 신 6을 넣으면 답이 어떻게 될까?

a = 2250324022012683866886426461942494811141200084921223218461967377588564477616220767789632257358521952443049813799712386367623925971447 b = 20260869859883222379931520298326390700152988332214525711323500132179943287700005601210288797153868533207131302477269470450828233936557 c =

1218343242702905855792264237868803223073090298310121297526752830558323845503910071851999217959704024280699759290559009162035102974023

4 대 신 홀수를 넣는다면 답은 안 나온다는건 증명됨

2

저 식에서 음수가 1개 있다면 답이 어떻게 될까?

a = 11 

b = -1 

c = 4

3

저 식에서 음수가 2개 있다면 답이 어떻게 될까?

a = 1 

b = -4 

c = -11

4

낮은 숫자  중 저 식에 가까운 숫자 는 뭘까?

a = 2361292

b = 126021

c = 503025

(133987937743,14237891832,21356837748)  

-> 3.99999999999999999999999813

(8630104736050,400069681308,1900330986213) 

-> 4.000000000000000000000253

(6870194050563369, 342641871163678, 1488094815890035) 

-> 3.9999999999999999999999965987

5

더 나아가면 어떻게 될까?

시작 점을 (-100 , -260) 시작 시 9P에서 이전 정답이 나왔고

13P

a = 184386514670723295219914666691038096275031765336404340516686430257803895506237580602582859039981257570380161221662398153794290821569045182385603418867509209632768359835 b = 16666476865438449865846131095313531540647604679654766832109616387367203990642764342248100534807579493874453954854925352739900051220936419971671875594417036870073291371 c = 32343421153825592353880655285224263330451946573450847101645239147091638517651250940206853612606768544181415355352136077327300271806129063833025389772729796460799697289

17P

a = 9391500403903773267688655787670246245493629218171544262747638036518222364768797479813561509116827252710188014736501391120827705790025300419608858224262849244058466770043809014864245428958116544162335497194996709759345801074510016208346248254582570123358164225821298549533282498545808644 b = 1440354387400113353318275132419054375891245413681864837390427511212805748408072838847944629793120889446685643108530381465382074956451566809039119353657601240377236701038904980199109550001860607309184336719930229935342817546146083848277758428344831968440238907935894338978800768226766379 c = 1054210182683112310528012408530531909717229064191793536540847847817849001214642792626066010344383473173101972948978951703027097154519698536728956323881063669558925110120619283730835864056709609662983759100063333396875182094245046315497525532634764115913236450532733839386139526489824351

21P

a = 5054729227475450427274369484803239479825091305751388135572448603576037654978196142209886225943055713384230446118035969818320833964792478425568165426513861388534926491015921716410969570164048517748147506388402603496289958758089911825477669004739864966841494437579004665357462952425413032747439063553786897871988705969714829772337356641778138923838273632046383016843421820241871452675269925797080859944523086015293719539167125415529515145 b = 1161640217306132458900911441651415023972393417197892812143262449233898803422146346627825401856073449291322173894322476243337457486170427505800629028080349908170091219751869674513518143111011120403910142953219728784138582766210837461563508481437266175417187186208008663435889653439706655448626378444301314102088643599567233932299749952837694062004500119197352724794576882305675018438398927991642460037666142140173983786350444307965016411 c = 23327978912047254535804038142169556127186936756095181398136756224463368530351921955206357565424226029748329737767516130520072674084336131550259761622497092797922739666348144750601917346229515778478878142030504652018159936616800590064485753155232061032607622109441379545719754978549786027663601160534574317253280344812956727894696796553762212813889660906595671851622444601557714326712873901193569743490902166958363537983235022557869209259

사실상 답은 무한 개임

요약

1 저 문제는 이해는 쉽지만 풀기는 어려운 문제임

2 단순화 , 일관성 , 일반화 등 이것 저것 해서 쉬운형태로 만든 다음 컴퓨터로 그래프에 해당하는 수많은 점을 찾으면 답이나옴

3 인간의 손으로는 거의 못 푼다고 보는데 풀이를 풀어쓰면 이과도 이해할 수 있음 (문과도 이해되게 글쓰려 했는데 그건 안 될듯 )

4 풀이보면 이해는 가능하지만, 풀이없이 그냥 푼다는건 정말 95% 이상이 못 푸는게 맞음

미로찾기 같은 느낌이라 길 잘 못 들면 첨부터 다시해야되고, 제대 로 된 길을 잘  찾아야 정답이 나오는 수준 이라 너무 어려움

이과라면 천천히 읽으면 쉽게 이해됨